QUADRATIC EQUATION

            Quadratic  चा अर्थच आहे वर्ग ( square ). ax^ २+bx +c =० या समीकरणात सर्वात मोठा घात २ आहे म्हणून हे Quadratic  equation . 

२.        Quadratic  equation मध्ये a  ची किंमत ० असेल तर ते Quadratic  equation होऊ शकत नाही . (कारण उरलेल्या समीकरणात सर्वात मोठा घात २ नाही ) . म्हणून a is not ० ही अट असते . 

३.              समीकरण पाहिले असता त्यात एकच चल पद (variable )  असल्याच  लक्षात येईल . 

४.             मुळात हे equation कस निर्माण झाल ,  याची निश्चित माहिती मिळत नाही . सर्वसाधारण निरीक्षणातून एक चल पद असलेल्या संख्यातून….  x गुणिले x  वरील समीकरण तयार होत . ब्रम्हगुप्त या भारतीय गणितीने या समीकरणावर काम केले आहे . पुढे अनेक पद्धतीने या समीकरणाच्या सिद्धता देण्यात आल्या आहेत .

५.              दोन संख्यांचा गुणाकर ० असतो तेव्हा त्यातील एक संख्या ० असते. या सोप्या गृहितकावर x ची किंमत निश्चित करता येते. x ची किंमत शोधायच्या प्रमुख ३ पद्धती आहेत . 

                 १) अवयव पाडणे 

                 २) वर्ग पूर्ण करणे 

                  ३) सरळ सूत्राने  

६.            अवयव पाडणे -    ax^ २+bx +c =०  . या समीकरणात दोन अवयव असे शोधायचे आहेत , ज्यांची बेरीज केली तर b इतकी येईल व गुणाकार c इतका येईल . 

                उदा .    x^ २+११x +२४ =०  

                           b =११

                           c =२४

                 असे अवयव आहेत . ३ व ८ .  पहा . बेरीज ११ व गुणाकार २४ . 

                 ….  x^ २+३x +८x २४ =०  

                 …   x (x +३)+८(x +३)=०

.  

                 ….   (x +३) (x +८)=०
                          ......   x =-३ , -८ 

७.            वर्ग पूर्ण करणे -  तुम्हाला माहित आहे . 
                 (x +k )^ २=x^ २+२k x +k^ २  =०…१
                                  ax^ २+bx +c =०    … २ 
                  १ व २ ची तुलना केली तर , b =२k  , c =k^ २   या स्वरुपात  समीकरण   लागेल . उदा . x^ २+6x -१० =०   या समीकरणात 
                   b =६= ३(२)
                   c =-१० , जे ३ चा वर्ग नाही . यासाठी  ९ लागेल म्हणून … 
                   x^ २+६x -१० =० हे समीकरण प्रथम 
                    x^ २+६x = १०  अस मांडा …. 
                    x^ २+६x +९ =१०+९ (दोन्हीकडे ९ मिळवा )
                    x^ २+६x +९ =१९
                    (x +३)^ २=१९
                     x +३= +,- in  suare root  १९ 
                     x = -३ +  in  suare root  १९, -३ -in  suare root  १९ 
                  
८         वरील पद्धतीने प्रक्रिया गुंतागुंतीची होऊ शकते . म्हणून , सरळ सूत्राने  .  वरील परिच्छेद ५ मधील      x^ २+११x +२४ =०  हे समीकरण घेतलं तर … 
                           a =१

                           b =११

                           c =२४

           सरळ खालील सूत्रात किमती टाका … 
    
      x=   -b +,- in square root sign (b^2 -4ac)
             -------------------------------------------
                                          2a
    

       x =-३ , -८  हेच उत्तर येत . 


                                              -------

        Quadratic means square .Why this equation is called Quadratic? ax^ २+bx +c =० . The Highest index of the equation is 2 . Hence, it is quadratic. If index is 3 it is cubic and so on.

2.          if a=0 then , the equation is not quadratic equation , because then equation turns to bx+c =0 . You shall find that the highest index is not 2. The basic condition of the quadratic equation is , highest index should be 2 and a is not equal to 0 . Also it has only one variable. 

3.         How this equation existed is not known, but you will find by general observation if you multiply two single variable numbers. i.e. x multiplied by x such equations are created. 

4.       Roots of the equation are determined by simple assumption ….... if multiplication of two numbers is 0. Then one of the number must be 0 . Following are the methods of finding the value of x.

          1) Factorization

          2) completing the square

          3)by equation

5.       Factorization- We have two find two factors in such a way that , addition of two factor is b and multiplication of two factor is c in the equation.

ax^ 2+bx +c =0

Ex. x^2+11x+24=0

b=11

c=24

such two factors are : 3,8

rearranging the equation...

x^2+x+3x+8x+24=0

x(x+3)+8(x+3)=0

(x+3) (x+8)=0

x=-3,-8

6.        Completing the square.

          You know that ,

(x+k)^2= x^2+2kx+k^2=0-----1

Compare x^ २+bx +c =0 with 1

b=2k , c=k^2

Ex. In the equation...

x^2+6x-10=0......2

b=2(3)

c=-10

Rearrange Equation 2

x^2+6x=10

        We require 9 at the end as the value of c to complete the square .adding 9 to both sides..

x^2+6x+9=10+9

(x+3)^2=19

(x+3)= +,- in square root sign 19 

x= -3 +,- in square root sign 19

7 . By Equation

x= -b +,- in square root sign (b^2 -4ac)

-------------------------------------------

                2a

Lets take Equation in para 5....

x^2+11x+24=0

a=1, b=11,c=24

Put the values in equation , you get the same answer

x=-3,-8