Fermat's Last theorem

             कालच्या महाराष्ट्र टाइम्स मध्ये 300 वर्ष सोडवता न आलेले गणितातील फरमॅटस लास्ट थेरम हे प्रमेय ऑक्सफर्ड विद्यापीठातील सर अँड्र्यू वाइल्स यांनी सोडवल्याचे वृत्त आहे. त्याकरता त्यांना 4,95,000/- पाऊंडाचे बक्षिस मिळाले आहे. काय आहे हे प्रमेय? हे प्रमेय Fermat's Last theorem , fermat's conjeture म्हणून ओळखले जाते .ते खालीलप्रमाणे आहे.

               Fermat's Last theorem states that no three positive integers a,b,c satisfy the the equation an+bn=cn (n is power of a,b,c)  for any integer value of n greater than 2.   जर n ची किंमत २ पेक्षा जास्त असेल तर या समीकरणाला solution set नसतो . 

                आपणास माहित आहे n=1,2 करीता a,b,c च्या अनेक किमती असतात.  
              उदा.a+b=c किंवा an+bn=cn (n is power of a,b,c)  जर n =२ असेल तर  a,b किंवा c च्या अनेक किमती मिळू शकतात. जेणेकरुन दोन्ही बाजूला  समान उत्तर मिळते. 

           परंतु जर n ची किंमत 2 पेक्षा जास्त असेल तर दोन्ही बाजूचे समाधान होईल असे उत्तर अस्तित्वात असू शकत नाही. format ने याची सिध्दता मात्र दिली नव्हती. १९३७ नंतर अनेक विद्वान मंडळी यावर विचारविनिमय करत होती  n च्या काही किमती करीता सिद्धता मिळत होती.  परंतु गणितात अनंत संख्याकारिता  सर्वसाधारण उत्तर मिळणे आवश्यक असते . सर्व कसोट्यावर प्रमेय टिकणे महत्वाचे आहे . 

स्नेहपूर्ण संख्या

            Amicable या शब्दाचा शब्दश : अर्थ मैत्रीपूर्ण , स्नेहपूर्ण , मैत्रीचा करार असा आहे . या अर्थाचा तत्व पाळणाऱ्या काही संख्यांच्या जोड्याही असतात . या संख्यांना फक्त एकमेकाचे योग्य विभाजाक स्वीकारार्ह  असतात . जणूकाही "एक दुजे के लिये " बनलेल्या . दोघात एक अलिखित करार झाल्यासारख्या .

              a आणि b दोन संख्या घेतल्या तर , a  च्या योग्य विभाजाकांची  बेरीज b एवढी असते . b  च्या योग्य विभाजाकांची बेरीज a एवढी असते . (एखाद्या धन पूर्ण संख्येचे ती संख्या सोडून इतर विभाजक म्हणजे योग्य विभाजक ) अशा संख्यांना Amicable  numbers म्हणतात .

             उदा . a =२२० , b =२८४
            a चे योग्य विभाजक - १,२,४,५,१०,११,२०,२२,४४,५५,११०  यांची बेरीज येते -२८४
            b चे योग्य विभाजक-  १,२,४,७१,१४२                                 यांची बेरीज येते -२२०

          (२२०,२८४) हि जोडी या संख्यांमधील सर्वात लहान जोडी आहे .

           या स्नेहपूर्ण संख्यामधील विभाजाकांनी जोडलेले नातं पाहिलं कि सहजपणे कविता स्फुरते .

            माझ्या विभाजाकांचे
            पूर्णत्व तू  रे
            तुझ्या  अवयवांची
            गोळाबेरीज मी   रे

            हा करार स्नेहपूर्ण
            हे नातं  मैत्रीपूर्ण
            तुजवाचून सर्व
            अपूर्ण, अर्थहिन  रे 

रामानुजन आणि पालक .

              गणिताचे तीन पद्धतीने आकलन  होऊ शकते .  Intuition , intelligence , practice . प्रतिभेने गणित समजून घेणे , तर्कशुद्ध स्वरूप देणे जमू शकते . सरावाने काही मर्यादेपर्यंत गणित सोडविता येइल. परंतु गणिताचा गाभा निर्माण करता येणार नाही . गणिताचे आकलन होणे , सरावाने सोडविणे या परस्पर भिन्न गोष्टी आहेत . intuition ही या सर्वाहून वेगळी शक्ती आहे . अंत:प्रेरणेने गणित मांडताना त्यात तर्कशुद्ध पायऱ्यांचा अभाव असला तरी फलनिष्पत्ती प्राप्त करण्याची नैसर्गिक क्षमता असते .  क्षमता ही निसर्गदत्त देणगी आहे , अशी देणगी असलेले परंतु दुर्लक्षित राहिलेले भारतीय गणितज्ञ म्हणजे रामानुजन.

           रामानुजन यांचा जन्म 22.12.1887 साली तमिळनाडुमधील एका लहानश्या गावात झाला.  त्यानंतर शालेय शिक्षण तंजावार जिल्हयातील कुंभकोणम येथे झालं.  शालेय शिक्षणात गणित विषयातील त्याची सर्जनशीलता अतिउच्च दर्जाची होती.  गणितात विशेष कौशल्य असले तरी इतर विषयात ते थोडे कच्चे होते.  विशेष प्रतिभा लाभलेल्या मुलांबाबत पालकांनी एक गोष्ट लक्षात ठेवली पाहिजे की, बुध्दीमत्तेचे वेगवेगळे पदर असतात.  एखादा विदयार्थी एका विशिष्ट विषयात उच्च दर्जाचे प्राविण्य दाखवत असेल व इतर विषय दुर्लक्षित करत असेल तर पालकांनी त्याची ही प्रतिभा समजून घेतली पाहिजे व त्यास अन्य विषयाबाबत जबरदस्ती करणे, त्याच्यात अंगभूत असलेल्या गुणांना दडपण्यासारखे आहे.

             भारतात काही उच्च दर्जाचे गणिती होते.  परंतु त्यानंतर या विषयाचा सूक्ष्म अभ्यास झालेला नाही.  वेद, पुराण, संतसाहित्य यापलिकडे सत्याचा भौतिक स्तरावर खोलवर शोध घेऊन विविध विषयात कौशल्य प्राप्त करता आले नाही ही वस्तुस्थिती आहे.  कायम एकसुरी पध्दतीच्या विचारांचा मारा झाल्यामुळे विद्यार्थी स्वतंत्र बुध्दीने विचार करण्यास अपयशी ठरत होते.  अशावेळी रामानुजन यांच्यात उपजत असलेले कौशल्य डॉक्टर हार्डी यांनी ,त्याची गुणवत्ता ओळखून फूलवत नेले   नसते तर हा बुध्दीमान गणिती कायम दुर्लक्षित राहिला असता.

              उच्च दर्जाची प्रतिभा संपादन करण्यासाठी  पोषक वातावरण आवश्यक असते असा एक समज आहे.  तो सर्वस्वी खोटा नाही.  रामानुजन यांना असे पोषक वातावरण मिळाले का?  तर त्याचे उत्तर नाही आहे.  त्यांचा जन्म एका गरीब कुटुंबात झाला.  त्यांचे वडील कपडयाच्या दुकानात काम करत.  आई धार्मिक होती.  त्यांच नाव संत रामानुजा यांच्यावरुन ठेवण्यात आल होत.  अस एकंदरीत सामान्य व धार्मिक वातावरण.  विज्ञान, गणित  अशा विषयांचा अभ्यास करतांना तर्कबध्द, वस्तुनिष्ठ विचारांचा पाया असावा लागतो.  अशा पायाचा पूर्णपणे अभाव.  असे असतांना त्यांच्या गणितातील गतीने, आकलनाने अचंबित व्हायला होते.  एखादया गोष्टीचे आकलन न झाल्यास आपण त्याला दैवी देणगीचे स्वरुप देतो.  रामानुजन यांना स्वत:लाही त्यांच्या घराण्याची देवी नमक्कलची त्यांच्यावर कृपा असल्याची श्रध्दा होती.  निसर्ग प्रत्येकात काहीना काही प्रतिभा पेरत असतो.  त्याला फुलवणे ही ज्याची त्याची जबाबदारी आहे.  पोषक वातावरण हा असे ज्ञान वृध्दींगत होण्याचा एक घटक आहे.  रामानुजन यांच्याबाबतीत मात्र सर्वस्वी विसंगत वातावरणाचा काही परिणाम झाला नाही.  याचा अर्थ सर्वकाही जादूने होत होते असं नाही. त्यांचे गणिताबाबत अखंड चिंतन सुरूच असे.  कोणतेही शास्त्र अखंड चिंतनाशिवाय टोकदार, सहज होऊ शकत नाही.
         
              तुम्हाला कधी प्रश्न पडला आहे काय?  एखादया संख्येला शून्याने भागल्यावर काय होईल.  हा भागाकार संपत नाही.  अनंत असतो.  रामानुजन याला लहानपणीच असे प्रश्न पडत.   प्रतिभावान मुले आणि इतर मुले यातला मूलभूत फरक हा आहे की, त्यांना प्रश्नच पडत नाही.  याला सर्वस्वी विद्यार्थ्यांना दोषी धरता येणार नाही.  आपल्या शिक्षण व समाजव्यवस्थेने विद्यार्थ्यांची प्रश्न विचारायची नैसर्गिक जिज्ञासा दडपून टाकली आहे.  रामानुजन यांना काहीही न वाचता नैसर्गिकरित्या सर्वकाही येत होते काय?  त्यांच्यात उपजत गुणवत्ता नक्कीच होती.  तेवढी पुरेशी नसते.  त्याला योग्य आकार देण्यासाठी वाचन, चिंतन अनिवार्य आहे.  त्यांच्याही लहानपणी असच एक गणिताच पुस्तक त्याच्या वाचनात आल होत.

                    रामानुजन यांनी डॉक्टर हार्डी यांना 1913 साली लिहीलेल्या पत्रावरुन अस स्पष्ट होत की, त्यांनी कोणतही विद्यापीठीय शिक्षण घेतलेल नव्हत.  त्यामुळे साचेबंद किंवा नियमित गणिताचा त्यांना अभ्यास नव्हता.  रामानुजन यांच्या पध्दतीवरुन असे दिसून येते की, गणित सोडवण्याकरता ज्या पायऱ्या आवश्यक असतात त्या गाळून ते थेट निष्कर्षाप्रत येत.  यासर्वाच कारण त्यांच शुध्द गणिताच शिक्षण झालेल नव्हत.  परंतु त्यांच्यात उपजत असलेल्या बुध्दीमत्तेच्या जोरावर त्यांना गणितात विशेष समस्या येत नसत.  त्यांच्या पत्रावरुन असे दिसते गरीबीमुळे अन्न हीच त्यांची प्रथम गरज होती.  पुढे इंग्लंडला गेल्यावर तेथील वातावरण त्यांना मानवले नाही.  शाकाहारी असल्यामुळे अन्नाची फार अाबाळ होत असे.  अशाही परिस्थितीत गणिताची उर्मी त्यांना स्वस्थ बसून देत नव्हती.  डॉक्टर हार्डी यांनी त्यांच्यातील गणिताची नैसर्गिक गुणवत्ता हेरली होती.  त्यास जराही बाधा   येऊ न देता त्यांच्याकडून गणिताचे प्रगत काम त्यांनी कौशल्याने करुन घेतले.

                 पालकांनी हे लक्षात ठेवले पाहिजे की, गुणवत्ता ही उपजत असली तरी विशेष प्रशिक्षणाने ती फुलविता येते.  अन्यथा अशा विद्यार्थ्यांकडे दुर्लक्ष होऊन ते आपली दिशा चुकुू शकतात.  आपल्या मुलाची नेमकी काय गुणवत्ता आहे हे जाणून घेण्याचे कसब पालकात आवश्यक आहे.   पालक त्याचे विविध विषयातील आकलन विचारात घेऊन पुढील दिशा निश्चित करु शकतात.  जरूरी नाही की विद्यार्थी सर्वच विषयात हुुषार असेल परंतु असा एखादा विषय असेल ज्यात त्याच्या एवढी उंची कोणीही गाठू शकणार नाही.
                             
                           रामानुजन यांनी गणितातील मूळ संख्या, श्रेणी यावर बरेच काम केले आहे.  या गणिताचा व्यवहारात नेमका काय उपयोग होतो असा प्रश्न पडत असेल.  संगणकात तर अशा अभ्यासाची फार आवश्यकता असते.  गणिताचा वापर करुन तंत्रज्ञान विकसित करण्यात येते.  गणित, विज्ञान यातील कागदावर मांडलेल्या संकल्पना भविष्यातील तंत्रज्ञानाचा पाया असू शकतो.  हे ज्ञान विकसित करण्याकरता तुमची बुध्दी, एक वही, एक पेन पुरेसे आहे.  याच्या आधारे अनेक संकल्पना तुम्ही बसल्या जागी विकसित करु शकता.  रामानुजन हे एक उपजत नैसर्गिक बुध्दीमत्त प्राप्त झालेले वेगळे व्यक्तिमत्व होते.  त्यांच्या इतकी बुध्दीमत्ता एखादयात नसेल तर वाईट वाटून घेण्याचे कारण नाही.  कदाचित गणिताशिवाय इतर विषयात तुमचा मुलगा अत्यंत प्रतिभावान असू शकतो, हे वेळेवर तुम्ही ओळखले पाहिजे.

                   

गणित -गणोबा ,राक्षस

        गणित हा विषय सर्वाना रुक्ष आणि कंटाळवाणा  वाटणारा विषय . यावरून Mental abuse to human, maths is a sin असे अनेक  विनोद केले जातात .तर कुठे  गणिताला गणोबा करण्यात आले  आहे . गणित असो किंवा अन्य कोणताही विषय … कुतूहल आणि प्रश्न विचारण्याच्या सवयीतूनच उत्तरे मिळत जातात . विषय रंजक वाटू लागतो . आपल्या शिक्षण व्यवस्थेत प्रश्न विचारणे  म्हणजे महापापम . 

         एडिसन यांची लहानपणीची कथा खूप उद्बोधक आहे . त्यांच्या बालसुलभ शंकांचे शाळेतील शिक्षक निरसन करू न शकल्यामुळे त्यांच्या आईनेच त्याच्या शिक्षणाची जबाबदारी घेऊन त्यांच्या ज्ञानाची लालसा शमविल्यामुळे, जो इतिहास निर्माण झाला त्या इतिहासाला, संशोधनाला जग मुकले असते. हे कशामुळे होऊ शकल. फक्त प्रश्न विचारण्याच्या सवयीमुळे…  प्रश्न , त्यातून मिळणारी उत्तरे यातून घटनांची सत्य-असत्यता याचे आकलन होऊ लागते .         

     मानवी भावना, स्वभाव विशेष यातून लेखक  घटना  उलगडून दाखविण्याचा प्रयत्न करत असतो . अनेकदा  हे विवेचन  भावनिक असते. अनेक हुशार साहित्यीक  शब्दांच्या फुलोऱ्यातून  तुमचा दृष्टीकोन बदलण्यातही यशस्वी होतात.  मात्र गणित हे वस्तुनिष्ठ असते.त्याला  केवळ शब्दांचे फुलोरे चालत नाहीत . तर निरीक्षण , सिद्धता, यातून येणारे वस्तुनिष्ठ  निष्कर्ष अपेक्षित असतात . … नुसते वस्तुनिष्ठ निष्कर्ष नाहीत तर ते अनेक कसोट्यावर   सिद्ध होणे आवश्यक असते. या करीता तुम्हाला निरीक्षणातून सारखे प्रश्न विचारावे लागतात . . केवळ एखाद्या पुस्तकात दिल आहे म्हणून गणित ते  मान्य करत नाही . 

            उदा.  एक गणितज्ञाने मुळ  संख्या (Prime numbers ) बाबत एक सूत्र दिले होते. परंतु केवळ  त्याने ते  सूत्र दिले म्हणून गणित थांबले नाही . त्याचे कठोर परीक्षण होतच राहिले . पुढे दुसऱ्या गणितज्ञाने सर्वच मूळ संख्यांना ते सूत्र लागू होत नसल्याचे दाखवून दिले .  

    गणिताला  वस्तुनिष्ठ दृष्टीकोन अपेक्षित असल्याने  निष्कर्षांची  उपलब्ध साधनांनी खातरजमा झाल्याशिवाय ते मान्य करीत नाही .  पूर्वी काही मंडळींनी गणिताने ग्रहांच्या दिशा, स्थान निश्चित केले होते . त्यावेळी वाद -विवादही झाले होते . अर्थात उपलब्ध    निरीक्षणे , गणित याच्या आधारे उत्तरे काढण्यात आली होती . आजच्या प्रगत साधनांनी ते ग्रह त्याच ठिकाणी असल्याचे आढळून आले आहे . 

     आर्यभट्ट , ब्रम्हगुप्त यांनी गणितात अनेक संकल्पना मांडल्या होत्या परंतु त्याचा पुढे पाठपुरावा झाला नाही . अभ्यास झाला नाही . ग्रंथ प्रामाण्याला महत्व आल्यामुळे बुद्धीची वाढ कुंठीत होऊन सर्व प्रकारचे विकास, संशोधन  कार्य थांबले . त्यामुळे गणितातील अनेक सिद्धांताचे श्रेय पश्चिमी  गणितज्ञांना मिळाले .  

    शालेय जीवनात गणित रुक्ष वाटण्याचे कारण म्हणजे त्याचा कार्यकारण भावच सांगितला जात नाही . परिणामत:  सूत्र व त्यातून  येणाऱ्या उत्तरात विद्यार्थी कायमचे  अडकले  जातात .  

         गणिताची सुरवात अंकगणिताने  होते. सुरवातीला  हे आकडे पाठ करून घेतले जातात . हे आकडे आहे त्या स्वरुपात का आवश्यक आहेत, तसे नसेल तर काय होईल, हे आकडे आले कुठून असे विद्यार्थ्यांना सतावणाऱ्या प्रश्नांची उत्तरे दिली जात नाहीत त्यामुळे मुले आपली निरीक्षणशक्ती, तर्कबुद्धी हरवून बसतात . त्यांना ते आकडे राक्षसी वाटू लागतात , हळूहळू एक अनामिक भीती मनात उत्पन्न झाल्यामुळे ते आपला आत्मविश्वास हरवून बसतात. सुरवातच भीतीने झाल्यामुळे गणित  म्हणजे कृष्णविवर असल्यासारखे त्याच्या जवळ जायालाही मुल घाबरू लागतात. त्यात समाजातून गणिताची  गणोबा , दैत्य अशी प्रतिमा केल्यामुळे  येनकेन प्रकारे गणिताला आयुष्यातून हद्दपार करण्याचा प्रयत्न केला जातो . 

       गणिताचा अभ्यास करून प्रत्येक जण  काही रामानुजम  होऊ शकत नाही तसेच साहित्याचा अभ्यास करून प्रत्येक जण  काही शेक्सपिअर   होऊ शकत नाही .  परंतु आपण अभ्यास करतच असतो . हा अभ्यास कसा  होतो हे महत्वाचे आहे . 

       गणिताचा अभ्यास करून प्रत्येकाने गणितज्ञ व्हावे असेही काही नाही  परंतु प्राथमिक पातळीवर तो  निरीक्षण,  तर्क, सिध्दता , निष्कर्ष , निष्कर्षाची वारंवारिता याबाबत कुतूहल जागृत करून  व अधिक सोपा करून   शिकवला गेल्यास  मनातली भीती कमी होईल तसेच,  इतर विषयाकडेही  केवळ ग्रंथ प्रामाण्य न मानता  चिकित्सक दृष्टीने पाहून  जीवनाबद्दलचा दृष्टीकोन व्यापक होण्यास मदत होईल . 

सांख्यिकी (statistics )

        संख्याशास्त्र , सांख्यिकी (statistics )  चा उगम विश्व सुरु झाल्यापासूनच झाला असावा . आपल्याकडे काय आहे याच्या निरीक्षणातून याची सुरवात झाली असावी . माहिती हा या शास्त्राचा मुख्य गाभा आहे . अनेक निरीक्षण , निष्कर्ष नोंदविण्यासाठी माहिती आवश्यक असते . 

२.      संख्याशास्त्र एखाद्या माहितीचे स्वरूप (nature )  शोधण्यासाठी उपयोगी येते . एखाद्या माहितीचे स्वरूप कसे निश्चित होते ?   उदा . महिला बाल कल्याण विभागाला सदृढ / कुपोषीत बालकांची माहिती अपेक्षित आहे . यासाठी बालकाचे वजन, आजार इ . आधारे  माहिती जमा  केली जाते . या माहितीच्या आधारे निश्चित करण्यात आलेल्या निकषाच्या आधारे सदृढ / कुपोषीत अशी वर्गवारी केली जाते . या वर्गावारीतून माहितीचे स्वरूप स्पष्ट होते . 

३.      Central tendency-  म्हणजे सरळ मराठीत केंद्रीय प्रवृत्ती . दिलेल्या data मधील एक विशिष्ट संख्या संपूर्ण माहितीचे स्वरूप (nature ) सांगते . या संख्येभोवती संपूर्ण माहितीचे (data) स्वरूप ठरत असल्यामुळे , संख्याशास्त्र माहितीचे स्वरूप  निश्चित करण्यासाठी खालील ती प्रमुख पद्धती वापरते . 

           १) mean 

           २) mode

           ३) median 

४.        mean ही सर्वात सोपी पद्धत असून , यात जेवढी निरीक्षणे आहेत त्याला एकूण निरीक्षणाने भागण्यात येते . थोडक्यात सरासरी काढण्यात येते . 

           median -या पद्धतीत data  क्रमाने लावून मधल्या संख्येचा विचार केला जातो .  
      mode   या पध्दतीत  सर्वात जास्त वारंवारता (frequency ) असलेल्या निरीक्षणाचा विचार केला जातो . 

५.         माहितीची केंद्रीय प्रवृत्ती काढण्याकरिता वरील तीनही पद्धती खालील सोप्या उदाहरणाने स्पष्ट  होतील . 

    एका टेस्ट मध्ये ५ विभागातील निरोगी बालकांची  संख्या खालीलप्रमाणे  आहे .  . तर  सरासरी किती निरोगी बालके किती ?
       ३,४,३,५,६ या data  चा mean , median , mode  खालीलप्रमाणे. 

            १)mean -     ३+४+३+५+२
                           -----------------= 3.4-  (३)
                                     ५
     
             २)median-3,3,4,5,6, (data क्रमाने लावावा . )
                                         मधली संख्या -४
          
               ३)mode - पुनरावृत्त संख्या (repeated )- ३


६.         वरील उदाहरण जर विचारात घेतले तर असे लक्षात येते . ३,४ या संख्या माहितीचे स्वरूप निश्चित करतात . परंतु जी extreme  value  म्हणजे ६ आहे , त्यापेक्षा फरक जास्त आहे . म्हणजे तुम्हाला नेमक माहितीच स्वरूप स्पष्ट झालेले नाही . या फरकातून assumed mean चा विचार आला . अशा extreme value तून निरीक्षणे वजा करून जास्तीत जास्त अपेक्षित उत्तराच्या जवळ जाता येते . 

७ .          १) mean    २) mode     ३) median  काढताना संस्करित (grouped ) , असंस्करित (ungrouped ) माहिती विचारात घेऊन उत्तर काढावे लागते . 
             असंस्करित (grouped ) म्हणजे आहे त्या स्वरूपातील (raw ) महिती . 
           संस्करित (ungrouped ) म्हणजे मूळ  स्वरूपातील (raw ) महिती  असंस्करित (grouped ) म्हणजे आहे त्या स्वरूपातील (raw ) महिती सुसूत्रपणे लिहिली जाते . 
   

८.     normal distribution ... काही निरीक्षणाचा ग्राफ काढला तर तो सारखाच येतो. म्हणजे तो खालून वर वाढतो . तेथून परत खाली येतो . बेल च्या आकाराची आकृती तयार होते. माहिती विस्कळीत होत नाही . एका विशिष्ट  बिंदूकडे केंद्रित होते .तोच तुमचा mean असतो .  उदा . मुलांची उंची , मुलांचे गुण  इ . प्रकारची माहिती घेतली तर तुम्हाला बेल च्या अाकराची आकृती मिळते . 

QUADRATIC EQUATION

            Quadratic  चा अर्थच आहे वर्ग ( square ). ax^ २+bx +c =० या समीकरणात सर्वात मोठा घात २ आहे म्हणून हे Quadratic  equation . 

२.        Quadratic  equation मध्ये a  ची किंमत ० असेल तर ते Quadratic  equation होऊ शकत नाही . (कारण उरलेल्या समीकरणात सर्वात मोठा घात २ नाही ) . म्हणून a is not ० ही अट असते . 

३.              समीकरण पाहिले असता त्यात एकच चल पद (variable )  असल्याच  लक्षात येईल . 

४.             मुळात हे equation कस निर्माण झाल ,  याची निश्चित माहिती मिळत नाही . सर्वसाधारण निरीक्षणातून एक चल पद असलेल्या संख्यातून….  x गुणिले x  वरील समीकरण तयार होत . ब्रम्हगुप्त या भारतीय गणितीने या समीकरणावर काम केले आहे . पुढे अनेक पद्धतीने या समीकरणाच्या सिद्धता देण्यात आल्या आहेत .

५.              दोन संख्यांचा गुणाकर ० असतो तेव्हा त्यातील एक संख्या ० असते. या सोप्या गृहितकावर x ची किंमत निश्चित करता येते. x ची किंमत शोधायच्या प्रमुख ३ पद्धती आहेत . 

                 १) अवयव पाडणे 

                 २) वर्ग पूर्ण करणे 

                  ३) सरळ सूत्राने  

६.            अवयव पाडणे -    ax^ २+bx +c =०  . या समीकरणात दोन अवयव असे शोधायचे आहेत , ज्यांची बेरीज केली तर b इतकी येईल व गुणाकार c इतका येईल . 

                उदा .    x^ २+११x +२४ =०  

                           b =११

                           c =२४

                 असे अवयव आहेत . ३ व ८ .  पहा . बेरीज ११ व गुणाकार २४ . 

                 ….  x^ २+३x +८x २४ =०  

                 …   x (x +३)+८(x +३)=०

.  

                 ….   (x +३) (x +८)=०
                          ......   x =-३ , -८ 

७.            वर्ग पूर्ण करणे -  तुम्हाला माहित आहे . 
                 (x +k )^ २=x^ २+२k x +k^ २  =०…१
                                  ax^ २+bx +c =०    … २ 
                  १ व २ ची तुलना केली तर , b =२k  , c =k^ २   या स्वरुपात  समीकरण   लागेल . उदा . x^ २+6x -१० =०   या समीकरणात 
                   b =६= ३(२)
                   c =-१० , जे ३ चा वर्ग नाही . यासाठी  ९ लागेल म्हणून … 
                   x^ २+६x -१० =० हे समीकरण प्रथम 
                    x^ २+६x = १०  अस मांडा …. 
                    x^ २+६x +९ =१०+९ (दोन्हीकडे ९ मिळवा )
                    x^ २+६x +९ =१९
                    (x +३)^ २=१९
                     x +३= +,- in  suare root  १९ 
                     x = -३ +  in  suare root  १९, -३ -in  suare root  १९ 
                  
८         वरील पद्धतीने प्रक्रिया गुंतागुंतीची होऊ शकते . म्हणून , सरळ सूत्राने  .  वरील परिच्छेद ५ मधील      x^ २+११x +२४ =०  हे समीकरण घेतलं तर … 
                           a =१

                           b =११

                           c =२४

           सरळ खालील सूत्रात किमती टाका … 
    
      x=   -b +,- in square root sign (b^2 -4ac)
             -------------------------------------------
                                          2a
    

       x =-३ , -८  हेच उत्तर येत . 


                                              -------

        Quadratic means square .Why this equation is called Quadratic? ax^ २+bx +c =० . The Highest index of the equation is 2 . Hence, it is quadratic. If index is 3 it is cubic and so on.

2.          if a=0 then , the equation is not quadratic equation , because then equation turns to bx+c =0 . You shall find that the highest index is not 2. The basic condition of the quadratic equation is , highest index should be 2 and a is not equal to 0 . Also it has only one variable. 

3.         How this equation existed is not known, but you will find by general observation if you multiply two single variable numbers. i.e. x multiplied by x such equations are created. 

4.       Roots of the equation are determined by simple assumption ….... if multiplication of two numbers is 0. Then one of the number must be 0 . Following are the methods of finding the value of x.

          1) Factorization

          2) completing the square

          3)by equation

5.       Factorization- We have two find two factors in such a way that , addition of two factor is b and multiplication of two factor is c in the equation.

ax^ 2+bx +c =0

Ex. x^2+11x+24=0

b=11

c=24

such two factors are : 3,8

rearranging the equation...

x^2+x+3x+8x+24=0

x(x+3)+8(x+3)=0

(x+3) (x+8)=0

x=-3,-8

6.        Completing the square.

          You know that ,

(x+k)^2= x^2+2kx+k^2=0-----1

Compare x^ २+bx +c =0 with 1

b=2k , c=k^2

Ex. In the equation...

x^2+6x-10=0......2

b=2(3)

c=-10

Rearrange Equation 2

x^2+6x=10

        We require 9 at the end as the value of c to complete the square .adding 9 to both sides..

x^2+6x+9=10+9

(x+3)^2=19

(x+3)= +,- in square root sign 19 

x= -3 +,- in square root sign 19

7 . By Equation

x= -b +,- in square root sign (b^2 -4ac)

-------------------------------------------

                2a

Lets take Equation in para 5....

x^2+11x+24=0

a=1, b=11,c=24

Put the values in equation , you get the same answer

x=-3,-8

 

            

संभ्यावता-PROBABILITY

              probability….  संभ्यावता यातून अनिश्चितता    ध्वनित होते . Random Experiment, outcomes , event , sample space  हे शब्द तुम्ही पाठ्यपुस्तकातून वाचले असतील . जे निश्चितच नाही , ते शिकून काय उपयोग असा प्रश्न तुम्हाला पडला असेल , त्याचा एवढा कशाला विचार करायचा ?

२.               एडीसन  यांचे महाविद्यालयीन शिक्षणाबाबत नकारात्मक विचार होते . त्याचं म्हणण अस होते की , ते निरर्थक आहे . यावर Einstein यांनी सुंदर उत्तर दिले आहे , ज्या गोष्टी तुम्हाला पाठ्यपुस्तकातून शिकता येत नाही त्याचा विचार करण्यासाठी मनाला प्रशिक्षण देण्यात शिक्षणाचं महत्व आहे . पाठ्य पुस्तकात थेट विषयाला हात घातलेला असतो . एखाद्या विषया भूमिका समजून घ्यायची असेल तर , पाठ्यपुस्तकाबाहेर खूप चिंतन , वाचन याची आवश्यकता आहे . 

३.           Random  Experiment म्हणजे अचानक केलेली/घडलेली  क्रिया . समजा १० घोडे एकाच वेळी धावत आहेत, नाण वर उडवलं , die वर फेकली याचे ,  Outcomes  म्हणजे शक्य उत्तरे आपणास माहित असतात.(१० घोडे , head  or tail , die चे ६ अंक  ) परंतु नेमक आपणास favorable  असलेल उत्तर येईल काय ? हे माहित नसत.

       उदा. एखाद नाण  उडवल तर हेड किंवा टेल मिळेल.  या घटनेत शक्य असलेले  जास्तीत जास्त किती Result मिळू शकतील २ , म्हणून sample space- (H,T)-  २. 

       event-  यातील एकच उत्तर आपणास अपेक्षित आहे (समजा आपणास Head अपेक्षित आहे ) तर event (H) म्हणजे १ होईल. कारण  Head येण्याची शक्यता एकच आहे .  
               समजा  दोन नाणी उडवली तर हेड येण्याची शक्यता किती ? त्यसाठी प्रथम sample space काढणे आवश्यक आहे . ती खालीलप्रमाणे 
            (HH,HT,TH,TT)  
       वरील sample space वरून ती शक्यता ३ आहे हे स्पष्ट  होत. (HH,HT,TH)   
            दोन नाणी उडवली तर दोन्ही हेड येण्याची शक्यता किती ?असा event असेल वरील sample space वरून ती शक्यता १ आहे हे स्पष्ट  होत. (HH)   

४.        दुसरे उदा. डाय हवेत उडविली तर समक्रमांक येण्याची शक्यता किती?

      event- समक्रमांक येणे हा यातील event  आहे . डायवर १ ते ६ इतके आकडे असतात त्यामुळे त्यापेक्षा जास्त outcomes  असू शकत नाहीत म्हणून, sample space  (१,२,३,४,५,६) 

        १ ते ६ क्रमांकात २,४,६ हे तीन सम क्रमांक आहेत . त्यामुळे event points ३. 

५.     संभाव्यशास्त्रात Sample space   आणि event    फार महत्वाचे आहे.यावरुन probability ठरवली जाते . यासाठी खालील शक्यतांचा विचार केला पाहिजे . 

          १) घटना घडेलच (certain event ) 
          २)  घडण्याची  शक्यता जास्त . (likely )
          ३) ५०% शक्यता 
          ४) कदाचित घडेल  . (unlikely )
          ५)घडणारच नाही .   (impossible )
          एक लाईन काढली अन ५०% शक्यता मध्यभागी दाखवली  तर १ व २ उजव्या बाजुला येतील , ४ व ५ डाव्या बाजूला येतील . 

६.        काय संभाव्यता निश्चित असू शकते ? 
            die उडवल्यावर मिळणारा अंक ६ किवा त्या पेक्षा कमी असेल असा event  घेतला तर शक्यता १ येईल .म्हणजे घटना घडेलच .याचा अर्थ एवढाच की , अशी घटना घडण्याची शक्यता सर्वात जास्त आहे.  म्हणजे no of sample pt .=no. no of event  pt .
          सर्व शक्यता  अशा निश्चित  असत्या तर या शास्त्राचा उगमच झाला नसता . उदा. १०  सर्व १० घोडे जिंकले तर, practically एखादवेळेस हे शक्य होऊ शकत , परंतु  या खेळाला मग अर्थच राहणार नाही, नाण उडवलं तर एकाचवेळी हेड व टेल मिळण practically ही शक्य नाही .  त्यामुळे संभाव्यता नेहमी ० ते १ च्या मध्ये असते. जेव्हा निश्चित उत्तरे माहित नसतात तेव्हा आपण संभ्यावतेकडे वळतो .  

७.         या संभाव्य शास्त्राचा उगमच जुगारातून झाला आहे . जे पूर्णपणे risk आणि अनिश्चितता  यावर आधारलेले आहे . Hygens ,Cardano इ. नी  त्याचा पाया रचला . पुढे  शास्त्रीय स्वरुपात Laplace, Bernoulli यांनी  हे शास्त्र विकसित केल . 

८.     आता सर्वात महत्वाचा प्रश्न संभाव्यशास्त्र अनिश्चित असल्यामुळे त्याचा व्यवहारात उपयोग काय ? तर ते अशा ठिकाणी वापरलं जात , जिथे result निश्चित नसतात . 

        उदा. एखाद्या मुलाला वार्षिक परीक्षेत ९०% गुण मिळतील किवा कसे , याचा अंदाज काढायचा असेल तर त्यासाठी वर्षभरात झालेल्या टेस्टचे गुण विचारात घ्यावे लागतील . समजा त्याला ५ टेस्ट मध्ये खालीलप्रमाणे मार्क मिळाले असतील……  
          ८५,९०,९१,८७,८९
    म्हणजे ९०% मार्क मिळण्याची शक्यता २/५ इतकी आहे. संभाव्यशास्त्रात data महत्वाचा आहे, म्हणून संभाव्यशास्त्र statistics शी फार जवळचे आहे. 
            संभाव्यशास्त्र जिथे risk  आहे , अनिश्चिती आहे . तिथे वापरले जाते . याकरिता विमा क्षेत्राचे उदाहरण नेहमी दिले जाते . 
          विम्याचा अर्ज भरताना तुमच वय , आजार ही माहिती प्रामुख्याने भरावी लागते . आजार व वय यानुसार जगण्याचा अंदाज बांधला जातो . एखाद्या माणसाचे आरोग्य चांगले असेल तर तो विम्याचे जास्तीत जास्त हप्ते  भरेल . यामुळे विमा कंपनीला जास्तीत जास्त हप्ते  मिळून फायदा होईल . पण तो कमी जगाला तर त्याने भरलेल्या रकमेपेक्षा जास्त रक्कम कंपनीला द्यावी लागते . तुमच्या दीर्घ आयुष्याची   कामना करणार कोणी नाही अस समजू नका . विमा कंपन्या तुमच्या दीर्घ आयुष्याची    मनापासून  प्रार्थना करतात . 
             अर्थात वरील सर्व गोष्टी पुन्हा संभाव्यतेवर आधारित आहेत . एखाद्या नैसर्गिक आपत्तीत विमा कंपनीची गणित चुकू शकतात . ते अपवाद समजावे . विमा कंपनीने या सर्व गोष्टींचा विचार केलेला असतो. संपूर्ण उद्योगाच शक्यतेवर आधारलेला असल्यमुळे, कंपनीला calculated risk घ्यावी लागते . 

९.             दुसरे उदा . म्हणजे शासन . शासनाला त्यांच्या अनेक योजना करताना statistics आणि probability याचा आधार घ्यावा लागतो . 
              उदा .  ग्रामीण भागातील ज्या मुलांना  वार्षिक परीक्षेत ९०% पेक्षा जास्त गुण मिळू शकतील अशा विद्यार्थ्यांकरिता शासनाला एक योजना तयार करावयाची आहे . अशा विद्यार्थ्यांचा  अंदाज काढायचा असेल तर त्यासाठी वर्षभरात झालेल्या टेस्टचे गुण विचारात घ्यावे लागतील . याचे उदाहरण वर दिले आहे . अशा विद्यार्थ्यांची संख्या निश्चित झाली कि शासनाला खर्चाचा अंदाज घेऊन त्याप्रमाणे निधी उपलब्ध करून देण्यासाठी योजना करता येते . 
१०.      वरील सर्व विवेचनावरून लक्षात आल असेल की , probability म्हणजे, आपणास अपेक्षित शक्यता व अशा सर्व शक्यता यांचे गुणोत्तर. probability ० आणि १ मध्ये येत असली तरी हा  विषय व्यापक आहे.    

     

                  

गणित,निरीक्षण , कुतूहल ,मांडणी(नियोजन),सूत्र

              आज आपण रोजच्या वापरातल्या संख्या पाहतो . ० ते ९ एवढे १० अंक वापरून आपण कुठलीही संख्या निर्माण करू शकतो . परंतु या संख्या याच पध्दतीने का वापरतात ? या बाबत कधी विचार केला आहे का ? आपण आज जी अंकगणिताची रचना उपयोगात आणतो ती दशमान पध्दती.

            उदा . ४५२८ ही संख्या पहिली असता त्यात ……

              ४(१०^ ३)+५(१०^ २)+२(१०)+८(१०^ ०)

           १० हा पाया असल्याचे दिसून येईल . तुमच्या एक लक्षात येईल , आपण फक्त ० ते ९ हेच अंक वापरले आहेत . ० चा शोध लागला नसता तर आज केवढा गहजब झाला असता . हे रोमन आकडे पहा …. X , V , VI या आकड्यांनी बेरीज , वजाबाकी , गुणाकार , भागाकार करण काय सोप आहे?

          ४,५,२,८ या अंकांची स्वतंत्ररीत्या किंमत नगण्य आहे . मात्र एकत्र केल्यावर ४ ला ४००० चा दर्जा मिळतो . ५ ला ५०० चा इ …

           कुठेही आपण ० ते ९ पेक्षा वेगळा अंक वापरत नाही .शुन्याची जागा बदलून आपण संख्येची किंमत निश्चित करतो.

        म्हणजेच आपला पाया १० म्हणून वरीलप्रमाणे पध्दत वापरतो . त्याचप्रमाणे तुम्ही पाया ठरवून संख्येची किंमत निश्चित करू शकता. आज अशा अनेक पध्दती आहेत computer ला ०, १ ची भाषा समजते म्हणून binary पध्दत . याबद्दल गोडबोले यांच्या गणिती या पुस्तकात फार रंजक पद्धतीने माहिती देण्यात आली अाहे.

2.     गणितात, व्यवहारात आलेल्या समस्या , निरीक्षण याच्या सहाय्याने दशमान पद्धत शोधण्यात आली . तर्कशुध्दता , व्यवहारता , उपयोगिता इ. निकष विचारात घेऊन गणिती मंडळी सोप्या पध्दती विकसित करत असतात . वरील संख्या तुम्ही रोज पाहता . किती जणांना कुतूहल वाटल … या संख्या बद्दल ? कशा उत्पन्न झाल्या , कशा विकसित झाल्या ? या संख्या आज जशा लिहिल्या जातात , तशाच का लिहिल्या जातात ? या सर्व गोष्टी जाणून घ्याल तेव्हा गणितातल्या पुढील संकल्पना तुम्हाला आकलन व्हायला लागतील . परंतु जोपर्यंत कुतूहल जागृत होत नाही तोपर्यंत बुध्दीला जडत्व येईल.

3.     एखाद्या यंत्रा सारखे सूत्र पाठ करणे, संकल्पना समजुन न घेणे यातून फार तर % मिळवता येतील बुध्दीची प्रगल्भता नाही … समाजात तीव्र स्मरणशक्ती असणाऱ्या व्यक्तीला खूप हुशार समजल जात. स्मरणशक्ती आणि तर्कशुद्धता या भिन्न गोष्टी म्हणजे केवळ स्मरणशक्तीने सापेक्षता , कृष्णविवर , मूळ संख्या इ . गोष्टी समजून घेत येणार नाहीत . यासाठी तुम्हाला वाचन, चिंतन, मनन,नियोजन, सूत्रबद्धता,तर्कशुद्धता , सातत्य याची फार आवश्यकता आहे. निरीक्षण , कुतूहल या दोन गोष्टींची जागृतता तुमच्यात निर्माण होईल,  तेव्हा आपोआपच तुमच्यात घोकंपट्टीच्या पलीकडची प्रगल्भता निर्माण होईल.

4.       गणिती, सूत्र तयार करताना कसे विचार करत असावेत याच एक उदाहरण पाहू .

          १,२,३,४,५……. या संख्या पाहिल्या तर १ ते n पर्यंतच्या अनंत संख्या आहेत याशिवाय प्रथम दर्शनी काहीच लक्षात येत नाही . संख्या सामान्य असल्यासारख्या वाटतात . कुतूहल म्हणून त्याच निरीक्षण सुरु करा . तुमच्या हळूहळू लक्षात येइल.

          १) लगतच्या दोन अंकामधील फरक १ आहे .

         २) लगतच्या दोन सम / विषम अंकामधील फरक २ आहे .

    वरील संख्यांमध्ये वैशिष्टय असल्याच का जाणवलं …...... निरीक्षणामुळे. त्यात एक प्रकारची विशिष्ट प्रकारची सूत्रबद्धता असल्याच कस लक्षात आल ….... कुतूहलामुळे

         म्हणजे तुमच्याकडे निरीक्षण, कुतूहल याचा अभाव असता तर वरील संख्या केवळ सामान्य संख्या राहिल्या असत्या .

5.           Gauss ची प्रसिध्द कथा तुम्हाला माहीतच आहे . कशाप्रकारे त्याने १ ते १०० या अंकांची बेरीज पटकन केली. यातून सूत्र तयार झाले .

                                     n (n +१)

                                                        --- ----------

                                                                 २

      वरील संख्या, सूत्र पाहताना तुम्हाला खालील प्रश्न पडले काय …

१) वरील सूत्र Gauss च्या मनात कसे आले ?

२) कोण आहे Gauss

३) वरील सूत्र अन्य पध्दतीने सिध्द करता येईल काय ?

          Gauss ची माहिती मिळाल्यानंतर सूत्राची खोलवर सिध्दता इ . गोष्टी जाणून घेण्याचे कुतूहल तुमच्यात चाळवले का ? याचे उत्तर नाही असेल तर तुम्ही पारंपारिक घोकंपट्टी पध्दतीने अभ्यास करता . तुम्हाला ज्ञानसागराच्या खोलवर गंगेत डुबकी मारण्यात रस नसून वर वर पोहाण्यातच आनंद आहे. सूत्र तुम्हाला पाठ आहे . त्या मागचा कार्यकारणभाव माहित नसेल तर नुसत सूत्र पाठ करून उत्तर मिळवाल . एखाद्याकडे चांगली स्मरणशक्ती असू शकेल पण कार्यकारणभाव, logic माहित नसेल तर तो स्वतःहून एखादी गोष्ट विकसित करण्यास असमर्थ ठरेल .

6.           वर आपण पाहिल आहे केवळ निरीक्षण , कुतूहल यातून तुम्हाला symmetry शोधत आली . Gauss ने वरील सूत्र शोधताना कसा विचार केला असेल हे पाहूया ….

१,२,३,४… , ९९, १०० या संख्यांची बेरीज Gauss ला करायची होती .

         त्याच्या अस लक्षात आल १ व १००, २ व ९९, ३ व ९८ … अशा क्रमाने संख्यांची बेरीज केली तर ती १०१ येते . १०० संख्या मध्ये अशा किती जोड्या असू शकतात ५०. म्हणजे १०१ गुणिले ५० केला की प्रश्न मिटला . परंतु सूत्र मांडताना एवढं पुरेस नसत ,वरील पध्दतीने n संख्या असतील तर काय करायचं ?

          १,२,३,४,५…. या संख्यांची डावीकडून उजवीकडे अथवा उलट म्हणजे ५,४,३,२,१ अशी बेरीज केली तरी तेवढीच येते . अशा n संख्या आहेत अस समजू

           आणि त्यांची बेरीज X अशी दाखवू

           X= १+२+३+४+…. +(n -२)+ (n -१)+n ……………१

           याच्या उलट केला तरी बेरीज तेवढीच राहील म्हणून

           X = n +(n -१)+(n -२)+ …… +१……… ................२

          (सूत्र करताना काही युक्ती कराव्या लागतात . दुसरी स्टेप मनात यायचं कारण काय ? जे Gauss च्या मनात आले होते . स्टेप १ व २ बघा … १ व n , २ व (n -१), ३ व (n -३) अशा क्रमाने जोड्यांची बेरीज सारखीच येते .ती आहे ....(n +१ )

         वरील १ व २ ची बेरीज केल्यावर

           २X =( (n +१)+(n +१)+……. +(n +१) ) n वेळा

           २ X =(n +१)/n

                     X= n (n +१)

                                      --- -----------

                             २

7.     पुर्वीचे बरेच गणिती , सूत्र द्यायचे पण सिध्दता द्यायचे नाहीत (बसा तुम्ही डोक खाजवत ) गणितात फक्त सूत्र, तर्क महत्वाचे नसून सिध्दता महत्वाची असते. म्हणजे वरील सूत्र फक्त काही संख्याकरिता बरोबर येउन उपयोगाचे नाही तर अनंत म्हणजे n करिता ते सिध्द होणे आवश्यक आहे . 
             गणितात निरीक्षण फार महत्वाचे आहे . याच निरीक्षणातून समान धागा शोधायचा अन सूत्र तयार करायचं . याकरिता वाचन , चिंतन , मनन फार आवश्यक आहे . दुसरे गणिती कसे विचार करायचे, त्यांना सूत्र शोधायची आवश्यकता का भासली याची सर्व माहिती तुमच्या पुस्तकात नसते त्यासाठी अतिरिक्त वाचन महत्वाचे आहे . याबद्दलच कुतूहल तुमच्यात जागृत झाल की , गणितातली रहस्य अापोआप उलगडत जातील.  

                                          --------------
                                           

          Observe the numbers in day to day use. We can create any number just using 10 numbers between 0 to 9. Why numbers are represented this way? have we thought about it before ... 

            Ex. observe the number 4528 

            4(10^3)+5(10^2)+2(10^1)+8(10^0)

          You can check the base is 10 and we have not used any other number other than 0 to 9 . Just imagine the situation without the above numbers or 0. Would have been addition, subtraction, division, multiplication  more easier with  Roman Numbers. (X, V, VI ...)

         4,5,2,8 ...individually value of the number is negligible. But if we put it together 4 gets the value of 4000. We use base 10. Similarly you can define the base to decide the value . Computer understand only two numbers 0 and 1, hence this method is called Binary Method.

2.       Today's number  system existed due to need of simplicity , observation. Mathematician develops such methods after considering practicability, usability, logic . you observe numbers ....but how many of you are curious about numbers ? ... how this numbers existed? How it developed ? Why this numbers are written, the way are used today ? if you try to understand the concept and peruse it in depth , you shall easily get acquainted with the soul of maths .For this you have to be curious .

3.     If you only mug up the equations without understanding the soul, concept what you will achieve ...only % but not matured vision. People with good memory power are considered to be intelligent in society. Memory and logical sense are two different things. You cannot understand the relativity , prime number concept only by memory . For this you need to develop reading, contemplating ,planning. 

4.      Lets see how mathematician must be thinking while developing Equation...

        If you observe 1,2,3,4,5 … You do not understand except , it are infinite numbers from 1 to n . Numbers seems to be very common.

      Be curious and observe , you shall find some symmetry …

1) The difference between two consecutive number is 1

2) The difference between two consecutive odd/ even number is 2

    Just curiosity and observation made this conclusions possible.

5.      You remember the famous story of Gauss the mathematician . How he found the addition of first 100 numbers quickly. Following equation was the result.

           n(n+1)/2

        Have you thought about ,

1) How Gauss thought about the equation?

2) Who was Gauss ?

3) Above equation is possible by any other method ?

    If you do not think deeply it means you just follow the traditional method of mugging up. Out of curiosity , observation we could identify the symmetry. Lets see the thought behind the Equation.

         Gauss had to add following numbers.

           1,2,3 .......100 (first 100 numbers)

       what Gauss observed... if 1 and 100, 2 and 99, 3 and 99 are added , sum comes to 101.

      How many such pairs are possible ..50 (because total numbers are 100)

      Just multiply 101 x 50

6.     It was possible for above numbers , what if we have first n numbers for sum . Then we require a Equation that can be true for any n .

      See the numbers 1,2,3,4,5 .if we add from left to right or from right to left sum is same . lets assume we have n numbers .and their sum to be X

         X= 1+2+3+4+5+..........+(n-2)+(n-1)+n......(1)

         X= n+(n-1)+(n-2)+ +2+1......                     (2)

( We have to use some tricks, logic . Why the second stage is at all needed . Because it is observed that the sum in any order is same . Just pick up numbers 1 and n. (n-1) and 2 what you find the sum is n+1 )

         add 1 and 2

         2X= (n+1) +(n+1)........) n times

           X= (n+1)n

                –--------

                     2

        just check your answer it will give correct answer for any n.

7.     Equation should be true for given condition . In above equation it should be true for any n. it does. Observation is very important . You find symmetry from observation that helps you to prepare the equation. Reading, Contemplation , curiosity is very important. You do not have all the information in your book . You can go further only if your curiosity makes you restless to explore the depth to understand the soul of anything.