गणित,निरीक्षण , कुतूहल ,मांडणी(नियोजन),सूत्र

              आज आपण रोजच्या वापरातल्या संख्या पाहतो . ० ते ९ एवढे १० अंक वापरून आपण कुठलीही संख्या निर्माण करू शकतो . परंतु या संख्या याच पध्दतीने का वापरतात ? या बाबत कधी विचार केला आहे का ? आपण आज जी अंकगणिताची रचना उपयोगात आणतो ती दशमान पध्दती.

            उदा . ४५२८ ही संख्या पहिली असता त्यात ……

              ४(१०^ ३)+५(१०^ २)+२(१०)+८(१०^ ०)

           १० हा पाया असल्याचे दिसून येईल . तुमच्या एक लक्षात येईल , आपण फक्त ० ते ९ हेच अंक वापरले आहेत . ० चा शोध लागला नसता तर आज केवढा गहजब झाला असता . हे रोमन आकडे पहा …. X , V , VI या आकड्यांनी बेरीज , वजाबाकी , गुणाकार , भागाकार करण काय सोप आहे?

          ४,५,२,८ या अंकांची स्वतंत्ररीत्या किंमत नगण्य आहे . मात्र एकत्र केल्यावर ४ ला ४००० चा दर्जा मिळतो . ५ ला ५०० चा इ …

           कुठेही आपण ० ते ९ पेक्षा वेगळा अंक वापरत नाही .शुन्याची जागा बदलून आपण संख्येची किंमत निश्चित करतो.

        म्हणजेच आपला पाया १० म्हणून वरीलप्रमाणे पध्दत वापरतो . त्याचप्रमाणे तुम्ही पाया ठरवून संख्येची किंमत निश्चित करू शकता. आज अशा अनेक पध्दती आहेत computer ला ०, १ ची भाषा समजते म्हणून binary पध्दत . याबद्दल गोडबोले यांच्या गणिती या पुस्तकात फार रंजक पद्धतीने माहिती देण्यात आली अाहे.

2.     गणितात, व्यवहारात आलेल्या समस्या , निरीक्षण याच्या सहाय्याने दशमान पद्धत शोधण्यात आली . तर्कशुध्दता , व्यवहारता , उपयोगिता इ. निकष विचारात घेऊन गणिती मंडळी सोप्या पध्दती विकसित करत असतात . वरील संख्या तुम्ही रोज पाहता . किती जणांना कुतूहल वाटल … या संख्या बद्दल ? कशा उत्पन्न झाल्या , कशा विकसित झाल्या ? या संख्या आज जशा लिहिल्या जातात , तशाच का लिहिल्या जातात ? या सर्व गोष्टी जाणून घ्याल तेव्हा गणितातल्या पुढील संकल्पना तुम्हाला आकलन व्हायला लागतील . परंतु जोपर्यंत कुतूहल जागृत होत नाही तोपर्यंत बुध्दीला जडत्व येईल.

3.     एखाद्या यंत्रा सारखे सूत्र पाठ करणे, संकल्पना समजुन न घेणे यातून फार तर % मिळवता येतील बुध्दीची प्रगल्भता नाही … समाजात तीव्र स्मरणशक्ती असणाऱ्या व्यक्तीला खूप हुशार समजल जात. स्मरणशक्ती आणि तर्कशुद्धता या भिन्न गोष्टी म्हणजे केवळ स्मरणशक्तीने सापेक्षता , कृष्णविवर , मूळ संख्या इ . गोष्टी समजून घेत येणार नाहीत . यासाठी तुम्हाला वाचन, चिंतन, मनन,नियोजन, सूत्रबद्धता,तर्कशुद्धता , सातत्य याची फार आवश्यकता आहे. निरीक्षण , कुतूहल या दोन गोष्टींची जागृतता तुमच्यात निर्माण होईल,  तेव्हा आपोआपच तुमच्यात घोकंपट्टीच्या पलीकडची प्रगल्भता निर्माण होईल.

4.       गणिती, सूत्र तयार करताना कसे विचार करत असावेत याच एक उदाहरण पाहू .

          १,२,३,४,५……. या संख्या पाहिल्या तर १ ते n पर्यंतच्या अनंत संख्या आहेत याशिवाय प्रथम दर्शनी काहीच लक्षात येत नाही . संख्या सामान्य असल्यासारख्या वाटतात . कुतूहल म्हणून त्याच निरीक्षण सुरु करा . तुमच्या हळूहळू लक्षात येइल.

          १) लगतच्या दोन अंकामधील फरक १ आहे .

         २) लगतच्या दोन सम / विषम अंकामधील फरक २ आहे .

    वरील संख्यांमध्ये वैशिष्टय असल्याच का जाणवलं …...... निरीक्षणामुळे. त्यात एक प्रकारची विशिष्ट प्रकारची सूत्रबद्धता असल्याच कस लक्षात आल ….... कुतूहलामुळे

         म्हणजे तुमच्याकडे निरीक्षण, कुतूहल याचा अभाव असता तर वरील संख्या केवळ सामान्य संख्या राहिल्या असत्या .

5.           Gauss ची प्रसिध्द कथा तुम्हाला माहीतच आहे . कशाप्रकारे त्याने १ ते १०० या अंकांची बेरीज पटकन केली. यातून सूत्र तयार झाले .

                                     n (n +१)

                                                        --- ----------

                                                                 २

      वरील संख्या, सूत्र पाहताना तुम्हाला खालील प्रश्न पडले काय …

१) वरील सूत्र Gauss च्या मनात कसे आले ?

२) कोण आहे Gauss

३) वरील सूत्र अन्य पध्दतीने सिध्द करता येईल काय ?

          Gauss ची माहिती मिळाल्यानंतर सूत्राची खोलवर सिध्दता इ . गोष्टी जाणून घेण्याचे कुतूहल तुमच्यात चाळवले का ? याचे उत्तर नाही असेल तर तुम्ही पारंपारिक घोकंपट्टी पध्दतीने अभ्यास करता . तुम्हाला ज्ञानसागराच्या खोलवर गंगेत डुबकी मारण्यात रस नसून वर वर पोहाण्यातच आनंद आहे. सूत्र तुम्हाला पाठ आहे . त्या मागचा कार्यकारणभाव माहित नसेल तर नुसत सूत्र पाठ करून उत्तर मिळवाल . एखाद्याकडे चांगली स्मरणशक्ती असू शकेल पण कार्यकारणभाव, logic माहित नसेल तर तो स्वतःहून एखादी गोष्ट विकसित करण्यास असमर्थ ठरेल .

6.           वर आपण पाहिल आहे केवळ निरीक्षण , कुतूहल यातून तुम्हाला symmetry शोधत आली . Gauss ने वरील सूत्र शोधताना कसा विचार केला असेल हे पाहूया ….

१,२,३,४… , ९९, १०० या संख्यांची बेरीज Gauss ला करायची होती .

         त्याच्या अस लक्षात आल १ व १००, २ व ९९, ३ व ९८ … अशा क्रमाने संख्यांची बेरीज केली तर ती १०१ येते . १०० संख्या मध्ये अशा किती जोड्या असू शकतात ५०. म्हणजे १०१ गुणिले ५० केला की प्रश्न मिटला . परंतु सूत्र मांडताना एवढं पुरेस नसत ,वरील पध्दतीने n संख्या असतील तर काय करायचं ?

          १,२,३,४,५…. या संख्यांची डावीकडून उजवीकडे अथवा उलट म्हणजे ५,४,३,२,१ अशी बेरीज केली तरी तेवढीच येते . अशा n संख्या आहेत अस समजू

           आणि त्यांची बेरीज X अशी दाखवू

           X= १+२+३+४+…. +(n -२)+ (n -१)+n ……………१

           याच्या उलट केला तरी बेरीज तेवढीच राहील म्हणून

           X = n +(n -१)+(n -२)+ …… +१……… ................२

          (सूत्र करताना काही युक्ती कराव्या लागतात . दुसरी स्टेप मनात यायचं कारण काय ? जे Gauss च्या मनात आले होते . स्टेप १ व २ बघा … १ व n , २ व (n -१), ३ व (n -३) अशा क्रमाने जोड्यांची बेरीज सारखीच येते .ती आहे ....(n +१ )

         वरील १ व २ ची बेरीज केल्यावर

           २X =( (n +१)+(n +१)+……. +(n +१) ) n वेळा

           २ X =(n +१)/n

                     X= n (n +१)

                                      --- -----------

                             २

7.     पुर्वीचे बरेच गणिती , सूत्र द्यायचे पण सिध्दता द्यायचे नाहीत (बसा तुम्ही डोक खाजवत ) गणितात फक्त सूत्र, तर्क महत्वाचे नसून सिध्दता महत्वाची असते. म्हणजे वरील सूत्र फक्त काही संख्याकरिता बरोबर येउन उपयोगाचे नाही तर अनंत म्हणजे n करिता ते सिध्द होणे आवश्यक आहे . 
             गणितात निरीक्षण फार महत्वाचे आहे . याच निरीक्षणातून समान धागा शोधायचा अन सूत्र तयार करायचं . याकरिता वाचन , चिंतन , मनन फार आवश्यक आहे . दुसरे गणिती कसे विचार करायचे, त्यांना सूत्र शोधायची आवश्यकता का भासली याची सर्व माहिती तुमच्या पुस्तकात नसते त्यासाठी अतिरिक्त वाचन महत्वाचे आहे . याबद्दलच कुतूहल तुमच्यात जागृत झाल की , गणितातली रहस्य अापोआप उलगडत जातील.  

                                          --------------
                                           

          Observe the numbers in day to day use. We can create any number just using 10 numbers between 0 to 9. Why numbers are represented this way? have we thought about it before ... 

            Ex. observe the number 4528 

            4(10^3)+5(10^2)+2(10^1)+8(10^0)

          You can check the base is 10 and we have not used any other number other than 0 to 9 . Just imagine the situation without the above numbers or 0. Would have been addition, subtraction, division, multiplication  more easier with  Roman Numbers. (X, V, VI ...)

         4,5,2,8 ...individually value of the number is negligible. But if we put it together 4 gets the value of 4000. We use base 10. Similarly you can define the base to decide the value . Computer understand only two numbers 0 and 1, hence this method is called Binary Method.

2.       Today's number  system existed due to need of simplicity , observation. Mathematician develops such methods after considering practicability, usability, logic . you observe numbers ....but how many of you are curious about numbers ? ... how this numbers existed? How it developed ? Why this numbers are written, the way are used today ? if you try to understand the concept and peruse it in depth , you shall easily get acquainted with the soul of maths .For this you have to be curious .

3.     If you only mug up the equations without understanding the soul, concept what you will achieve ...only % but not matured vision. People with good memory power are considered to be intelligent in society. Memory and logical sense are two different things. You cannot understand the relativity , prime number concept only by memory . For this you need to develop reading, contemplating ,planning. 

4.      Lets see how mathematician must be thinking while developing Equation...

        If you observe 1,2,3,4,5 … You do not understand except , it are infinite numbers from 1 to n . Numbers seems to be very common.

      Be curious and observe , you shall find some symmetry …

1) The difference between two consecutive number is 1

2) The difference between two consecutive odd/ even number is 2

    Just curiosity and observation made this conclusions possible.

5.      You remember the famous story of Gauss the mathematician . How he found the addition of first 100 numbers quickly. Following equation was the result.

           n(n+1)/2

        Have you thought about ,

1) How Gauss thought about the equation?

2) Who was Gauss ?

3) Above equation is possible by any other method ?

    If you do not think deeply it means you just follow the traditional method of mugging up. Out of curiosity , observation we could identify the symmetry. Lets see the thought behind the Equation.

         Gauss had to add following numbers.

           1,2,3 .......100 (first 100 numbers)

       what Gauss observed... if 1 and 100, 2 and 99, 3 and 99 are added , sum comes to 101.

      How many such pairs are possible ..50 (because total numbers are 100)

      Just multiply 101 x 50

6.     It was possible for above numbers , what if we have first n numbers for sum . Then we require a Equation that can be true for any n .

      See the numbers 1,2,3,4,5 .if we add from left to right or from right to left sum is same . lets assume we have n numbers .and their sum to be X

         X= 1+2+3+4+5+..........+(n-2)+(n-1)+n......(1)

         X= n+(n-1)+(n-2)+ +2+1......                     (2)

( We have to use some tricks, logic . Why the second stage is at all needed . Because it is observed that the sum in any order is same . Just pick up numbers 1 and n. (n-1) and 2 what you find the sum is n+1 )

         add 1 and 2

         2X= (n+1) +(n+1)........) n times

           X= (n+1)n

                –--------

                     2

        just check your answer it will give correct answer for any n.

7.     Equation should be true for given condition . In above equation it should be true for any n. it does. Observation is very important . You find symmetry from observation that helps you to prepare the equation. Reading, Contemplation , curiosity is very important. You do not have all the information in your book . You can go further only if your curiosity makes you restless to explore the depth to understand the soul of anything.