संभ्यावता-PROBABILITY

              probability….  संभ्यावता यातून अनिश्चितता    ध्वनित होते . Random Experiment, outcomes , event , sample space  हे शब्द तुम्ही पाठ्यपुस्तकातून वाचले असतील . जे निश्चितच नाही , ते शिकून काय उपयोग असा प्रश्न तुम्हाला पडला असेल , त्याचा एवढा कशाला विचार करायचा ?

२.               एडीसन  यांचे महाविद्यालयीन शिक्षणाबाबत नकारात्मक विचार होते . त्याचं म्हणण अस होते की , ते निरर्थक आहे . यावर Einstein यांनी सुंदर उत्तर दिले आहे , ज्या गोष्टी तुम्हाला पाठ्यपुस्तकातून शिकता येत नाही त्याचा विचार करण्यासाठी मनाला प्रशिक्षण देण्यात शिक्षणाचं महत्व आहे . पाठ्य पुस्तकात थेट विषयाला हात घातलेला असतो . एखाद्या विषया भूमिका समजून घ्यायची असेल तर , पाठ्यपुस्तकाबाहेर खूप चिंतन , वाचन याची आवश्यकता आहे . 

३.           Random  Experiment म्हणजे अचानक केलेली/घडलेली  क्रिया . समजा १० घोडे एकाच वेळी धावत आहेत, नाण वर उडवलं , die वर फेकली याचे ,  Outcomes  म्हणजे शक्य उत्तरे आपणास माहित असतात.(१० घोडे , head  or tail , die चे ६ अंक  ) परंतु नेमक आपणास favorable  असलेल उत्तर येईल काय ? हे माहित नसत.

       उदा. एखाद नाण  उडवल तर हेड किंवा टेल मिळेल.  या घटनेत शक्य असलेले  जास्तीत जास्त किती Result मिळू शकतील २ , म्हणून sample space- (H,T)-  २. 

       event-  यातील एकच उत्तर आपणास अपेक्षित आहे (समजा आपणास Head अपेक्षित आहे ) तर event (H) म्हणजे १ होईल. कारण  Head येण्याची शक्यता एकच आहे .  
               समजा  दोन नाणी उडवली तर हेड येण्याची शक्यता किती ? त्यसाठी प्रथम sample space काढणे आवश्यक आहे . ती खालीलप्रमाणे 
            (HH,HT,TH,TT)  
       वरील sample space वरून ती शक्यता ३ आहे हे स्पष्ट  होत. (HH,HT,TH)   
            दोन नाणी उडवली तर दोन्ही हेड येण्याची शक्यता किती ?असा event असेल वरील sample space वरून ती शक्यता १ आहे हे स्पष्ट  होत. (HH)   

४.        दुसरे उदा. डाय हवेत उडविली तर समक्रमांक येण्याची शक्यता किती?

      event- समक्रमांक येणे हा यातील event  आहे . डायवर १ ते ६ इतके आकडे असतात त्यामुळे त्यापेक्षा जास्त outcomes  असू शकत नाहीत म्हणून, sample space  (१,२,३,४,५,६) 

        १ ते ६ क्रमांकात २,४,६ हे तीन सम क्रमांक आहेत . त्यामुळे event points ३. 

५.     संभाव्यशास्त्रात Sample space   आणि event    फार महत्वाचे आहे.यावरुन probability ठरवली जाते . यासाठी खालील शक्यतांचा विचार केला पाहिजे . 

          १) घटना घडेलच (certain event ) 
          २)  घडण्याची  शक्यता जास्त . (likely )
          ३) ५०% शक्यता 
          ४) कदाचित घडेल  . (unlikely )
          ५)घडणारच नाही .   (impossible )
          एक लाईन काढली अन ५०% शक्यता मध्यभागी दाखवली  तर १ व २ उजव्या बाजुला येतील , ४ व ५ डाव्या बाजूला येतील . 

६.        काय संभाव्यता निश्चित असू शकते ? 
            die उडवल्यावर मिळणारा अंक ६ किवा त्या पेक्षा कमी असेल असा event  घेतला तर शक्यता १ येईल .म्हणजे घटना घडेलच .याचा अर्थ एवढाच की , अशी घटना घडण्याची शक्यता सर्वात जास्त आहे.  म्हणजे no of sample pt .=no. no of event  pt .
          सर्व शक्यता  अशा निश्चित  असत्या तर या शास्त्राचा उगमच झाला नसता . उदा. १०  सर्व १० घोडे जिंकले तर, practically एखादवेळेस हे शक्य होऊ शकत , परंतु  या खेळाला मग अर्थच राहणार नाही, नाण उडवलं तर एकाचवेळी हेड व टेल मिळण practically ही शक्य नाही .  त्यामुळे संभाव्यता नेहमी ० ते १ च्या मध्ये असते. जेव्हा निश्चित उत्तरे माहित नसतात तेव्हा आपण संभ्यावतेकडे वळतो .  

७.         या संभाव्य शास्त्राचा उगमच जुगारातून झाला आहे . जे पूर्णपणे risk आणि अनिश्चितता  यावर आधारलेले आहे . Hygens ,Cardano इ. नी  त्याचा पाया रचला . पुढे  शास्त्रीय स्वरुपात Laplace, Bernoulli यांनी  हे शास्त्र विकसित केल . 

८.     आता सर्वात महत्वाचा प्रश्न संभाव्यशास्त्र अनिश्चित असल्यामुळे त्याचा व्यवहारात उपयोग काय ? तर ते अशा ठिकाणी वापरलं जात , जिथे result निश्चित नसतात . 

        उदा. एखाद्या मुलाला वार्षिक परीक्षेत ९०% गुण मिळतील किवा कसे , याचा अंदाज काढायचा असेल तर त्यासाठी वर्षभरात झालेल्या टेस्टचे गुण विचारात घ्यावे लागतील . समजा त्याला ५ टेस्ट मध्ये खालीलप्रमाणे मार्क मिळाले असतील……  
          ८५,९०,९१,८७,८९
    म्हणजे ९०% मार्क मिळण्याची शक्यता २/५ इतकी आहे. संभाव्यशास्त्रात data महत्वाचा आहे, म्हणून संभाव्यशास्त्र statistics शी फार जवळचे आहे. 
            संभाव्यशास्त्र जिथे risk  आहे , अनिश्चिती आहे . तिथे वापरले जाते . याकरिता विमा क्षेत्राचे उदाहरण नेहमी दिले जाते . 
          विम्याचा अर्ज भरताना तुमच वय , आजार ही माहिती प्रामुख्याने भरावी लागते . आजार व वय यानुसार जगण्याचा अंदाज बांधला जातो . एखाद्या माणसाचे आरोग्य चांगले असेल तर तो विम्याचे जास्तीत जास्त हप्ते  भरेल . यामुळे विमा कंपनीला जास्तीत जास्त हप्ते  मिळून फायदा होईल . पण तो कमी जगाला तर त्याने भरलेल्या रकमेपेक्षा जास्त रक्कम कंपनीला द्यावी लागते . तुमच्या दीर्घ आयुष्याची   कामना करणार कोणी नाही अस समजू नका . विमा कंपन्या तुमच्या दीर्घ आयुष्याची    मनापासून  प्रार्थना करतात . 
             अर्थात वरील सर्व गोष्टी पुन्हा संभाव्यतेवर आधारित आहेत . एखाद्या नैसर्गिक आपत्तीत विमा कंपनीची गणित चुकू शकतात . ते अपवाद समजावे . विमा कंपनीने या सर्व गोष्टींचा विचार केलेला असतो. संपूर्ण उद्योगाच शक्यतेवर आधारलेला असल्यमुळे, कंपनीला calculated risk घ्यावी लागते . 

९.             दुसरे उदा . म्हणजे शासन . शासनाला त्यांच्या अनेक योजना करताना statistics आणि probability याचा आधार घ्यावा लागतो . 
              उदा .  ग्रामीण भागातील ज्या मुलांना  वार्षिक परीक्षेत ९०% पेक्षा जास्त गुण मिळू शकतील अशा विद्यार्थ्यांकरिता शासनाला एक योजना तयार करावयाची आहे . अशा विद्यार्थ्यांचा  अंदाज काढायचा असेल तर त्यासाठी वर्षभरात झालेल्या टेस्टचे गुण विचारात घ्यावे लागतील . याचे उदाहरण वर दिले आहे . अशा विद्यार्थ्यांची संख्या निश्चित झाली कि शासनाला खर्चाचा अंदाज घेऊन त्याप्रमाणे निधी उपलब्ध करून देण्यासाठी योजना करता येते . 
१०.      वरील सर्व विवेचनावरून लक्षात आल असेल की , probability म्हणजे, आपणास अपेक्षित शक्यता व अशा सर्व शक्यता यांचे गुणोत्तर. probability ० आणि १ मध्ये येत असली तरी हा  विषय व्यापक आहे.